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By Theodor Bröcker

Broecker T. research 1 (2ed., Spektrum, 1995)(de)(ISBN 3860254189)(1s)_MCet_

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Beweis: Sei (ak ) die Folge der positiven und (bk ) die Folge der negativen Glieder ck der betrachteten Reihe. Weil ck konvergiert, aber nicht absolut, gilt offenbar (ak ) → 0, n (bk ) → 0, n ak → ∞, k=1 bk → −∞. k=1 Wir w¨ahlen jetzt als Folge cρ( ) rekursiv jeweils das n¨achste noch nicht gew¨ahlte Glied der Folge (ak ) bzw. (bk ) , je nach dem −1 d −1 := cρ(k) < x oder ≥ x. k=1 Es ist dann schließlich |cρ( ) | < ε f¨ ur ≥ L , und ist etwa dL < x , dL+k ≥ x , so ist |d − x| < ε f¨ ur > L + k .

Folgen und Reihen reeller Zahlen 29 (iv) Die Folge ( 2nn ) konvergiert gegen 0. Es ist n¨amlich nach dem binomischen Lehrsatz f¨ ur n ≥ 2: 2n = (1 + 1)n = 1 + n + also n/2n ≤ 2 n n(n − 1) n(n + 1) n2 + ··· ≥ ≥ , 2 2 2 , und | n2 | < ε f¨ ur fast alle n. (v) Die Fibonacci-Folge ist bestimmt divergent, denn: f¨ ur n ≥ 5 ist an ≥ n. Man pr¨ uft diese Behauptung f¨ ur n = 5 und 6 . Beim Induktionsschritt setzt man die Behauptung f¨ ur n + 1 und n voraus und erh¨alt: an+2 = an+1 + an ≥ n + 1 + n > n + 2.

Hier ist ein kleiner Schluß verborgen: Gilt f¨ ur fast alle n die Aussage A(n) und auch f¨ ur fast alle n die Aussage B(n), so gilt f¨ ur fast alle n alles beides: A(n) und B(n) , denn gilt etwa A(n) f¨ ur n > N1 , B(n) f¨ ur n > N2 , so A(n) und B(n) f¨ ur n > max{N1 , N2 } . Fall 3. |x| > 1 . Sei a = |x|, dann ist a = 1 + δ f¨ ur ein δ > 0, also nach Bernoulli an = (1 + δ)n ≥ 1 + nδ ≥ nδ, und nach Archimedes gilt: Ist R ∈ R beliebig vorgegeben, so ist f¨ ur fast alle n an ≥ nδ > R. Also ist (xn ) divergent, denn aus (xn ) → g w¨ urde folgen |xn −g| < 1 f¨ ur fast alle n , also an = |xn | < |g| + 1 .

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