By Udo Vetter

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Immerhin ist φ(I ) ein Ideal in R ′ , wenn φ surjektiv ist. 4,(2) vollst¨andig u¨ bertragen: Ist I ′ ein Ideal in R ′ , dann ist φ −1 (I ′ ) ein Ideal in R; insbesondere ist Kern φ = φ −1 (0) ein Ideal in R. 4. 19. 8. Es seien φ : R → R ′ , ψ : R → R˜ Homomorphismen von Ringen. φ sei surjektiv, und es gelte Kern ψ ⊃ Kern φ. Dann gibt es genau eine Abbildung ψ ′ : R ′ → R˜ mit ψ ′ ◦φ = ψ. Es ist Bild ψ = Bild ψ ′ . ψ ′ ist ein Homomorphismus, und es gilt φ(Kern ψ) = Kern ψ ′ . Ist ψ surjektiv, dann ist auch ψ ′ surjektiv.

Im Ring Z sind genau diejenigen Elemente unzerlegbar, deren Betrag eine Primzahl ist. Die ganzen Zahlen m und n sind genau dann assoziiert, wenn m = ±n ist. 3. Genau dann ist das Element u von R unzerlegbar, wenn gilt: Ru ̸ = 0, Ru ̸= R, und jedes Ru umfassende Hauptideal ist entweder gleich Ru oder gleich R. Beweis. u sei unzerlegbar. Dann gilt sicherlich Ru ̸ = 0 und Ru ̸= R. Es sei a ∈ R mit Ru ⊂ Ra. Dann ist u = ca mit einem c ∈ R. h. Ru = Ra oder Ra = R. Es gelte umgekehrt die im Satz beschriebene Bedingung f¨ur u.

11. Im zweiten Teil dieses Abschnitts verallgemeinern wir die aus der Schule bekannten Begriffe gr¨oßter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches auf beliebige Integrit¨atsbereiche und untersuchen sie insbesondere in faktoriellen Ringen und Hauptidealbereichen. 13. (1) Das Element d ∈ R heißt gemeinsamer Teiler (gT) der Elemente a1 , . . h. wenn es zu jedem i = 1, . . , n ein bi ∈ R gibt mit ai = bi d. (2) Das Element v ∈ R heißt gemeinschaftliches Vielfaches (gV) der Elemente a1 , .