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By Prof. Dr. Achim Klenke (auth.)

Dieses Lehrbuch bietet eine umfassende Einf?hrung in die wichtigsten Gebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre ma?theoretischen Grundlagen. Breite und Auswahl der Themen sind einmalig in der deutschsprachigen Literatur. Die 250 ?bungsaufgaben und zahlreichen Abbildungen helfen Lesern den Lernstoff zu vertiefen. Themenschwerpunkte sind u. a. die Ma?- und Integrationstheorie, Grenzwerts?tze f?r Summen von Zufallsvariablen, Martingale, Perkolation, Markovketten und elektrische Netzwerke sowie die Konstruktion stochastischer Prozesse.

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19) (vii) Seien μ ∈ R, σ2 > 0 und X reell mit P[X ≤ x] = √ x 1 2πσ 2 e− (t−μ)2 2σ 2 dt −∞ f¨ur x ∈ R. Dann heißt PX =: Nμ,σ2 Gauß’sche Normalverteilung mit Parametern μ und σ 2 . (viii) Ist X ≥ 0 reell und θ > 0 sowie x P[X ≤ x] = P[X ∈ [0, x]] = θ e−θt dt f¨ur x ≥ 0, 0 so heißt PX Exponentialverteilung mit Parameter θ (kurz: expθ ). (ix) Ist X Rd -wertig, μ ∈ Rd , Σ eine positiv definite d × d Matrix und P[X ≤ x] = det(2π Σ)−1/2 exp − (−∞,x] 1 t − μ, Σ −1 (t − μ) 2 λd (dt) f¨ur x ∈ R (wobei · , · das Skalarprodukt im Rd bezeichnet), so heißt PX =: Nμ,Σ die d-dimensionale Normalverteilung mit Parametern μ und Σ.

23. 86. Sei d(x, y) = x − y 2 der gew¨ohnliche euklidische Abstand auf Rn und B(Rn , d) = B(Rn ) die Borel’sche σ-Algebra zu der von d erzeugten Topologie. F¨ur jede Teilmenge A von Rn ist dann B(A, d) = B(Rn , d) . ✸ A Wir wollen die reellen Zahlen um die Punkte −∞ und +∞ erweitern und definieren R := R ∪ {−∞, +∞}. Topologisch wollen wir R als die so genannte Zweipunktkompaktifizierung ansehen, indem wir R als topologisch isomorph zu [−1, 1] betrachten, beispielsweise verm¨oge der Abbildung ⎧ ⎪ ⎨ tan(πx/2), falls x ∈ (−1, 1), −∞, falls x = −1, x→ ϕ : [−1, 1] → R, ⎪ ⎩ ∞, falls x = +1.

N ∈ {0, 1}, n ∈ N). Wir setzen X(ω) := inf{n ∈ N : ωn = 1} − 1, mit der Konvention inf ∅ = ∞. Offenbar ist jede der Abbildungen Xn : Ω → R, ω→ n − 1, ∞, falls ωn = 1, falls ωn = 0, A – B(R)-messbar und X = inf n∈N Xn . Also ist X auch A – B(R)-messbar, also eine Zufallsvariable. Sei ω 0 := (0, 0, . ) ∈ Ω. Dann ist P[X ≥ n] = P[[ω10 , . . , ωn0 ]] = (1 − p)n . Also ist P[X = n] = P[X ≥ n] − P[X ≥ n + 1] = (1 − p)n − (1 − p)n+1 = p (1 − p)n . (iv) Seien r > 0 (nicht notwendigerweise ganzzahlig) und p ∈ (0, 1].

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